给定图G和H, 我们称G包含H-immersion是指存在一个单射f : V (H) → V (G) 使得对于H中的任意一条边uv，G中都包含一条路P(uv)连接f(u)和f(v)，并且所有这样的路都是边不交的。这一概念最早由Nash-Williams于1965年提出，是图子式（minor）和拓扑子式（Topological minor or Subdivision）的一类推广且在近些年围绕immersion关系的极值问题受到广泛关注。我们知道一个图的点色数是最小的正整数k使得该图的所有顶点可以被划分为k个独立集。类比于著名的Hadwiger猜想：任意一个图都包含点色数大小的完全图作为minor，Lescure和Meyniel，Abu-Khzam和Langston，分别独立地提出了如下猜想：任意一个图都包含点色数大小的完全图作为immersion。关于该猜想目前最好的界是由Gauthier、Le和Wollan取得：任意点色数为3.54k+4的图都包含k大小的完全图作为immersion。

刘鸿（韩国IBS）、王光辉（山东大学）和杨东雷（山东大学）考虑平均度条件下的极值问题，证明了：对于任给的常数c > 0和整数s, t ≥ 2，存在常数d0使得任意一个不含Ks,t作为子图,且平均度至少为d0的图G中都包含(1-c)d(G)大小的完全图作为immersion，其中d(G)是图G的平均度。作为推论，上述Lescure和Meyniel等人的猜想对所有不含给定二部图的图类是渐近成立。

相关论文见: H. Liu, G. Wang, D. Yang, Clique immersion in graphs without a fixed bipartite graph, J. Combin. Theory Ser. B, 57 (2022) 346–365.